Question

11．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC₁、AD的中點(diǎn)．那么異面直線OE和FD₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

Answer 1

分析 建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式即可得出異面直線所成的夾角．

解答 解：如圖所示
不妨設(shè)AB=2，
則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
C₁（0，2，2），D₁（0，0，2），O（1，1，0），E（0，2，1），F(xiàn)（1，0，0）．
∴$\overrightarrow{OE}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{F{D}_{1}}$=（-1，0，2）．
∴$cos＜\overrightarrow{OE}，\overrightarrow{F{D}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{F{D}_{1}}}{|\overrightarrow{OE}||\overrightarrow{F{D}_{1}}|}$=$\frac{1+2}{\sqrt{3}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴異面直線OE和FD₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了利用向量的夾角公式求異面直線所成的夾角，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．