Question

1．圓心在曲線y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上，與直線2x+y+1=0相切且面積最小的圓的方程為（　　）

• A． （x-1）²+（y-2）²=5
• B． （x-1）²+（y-1）²=5
• C． （x-1）²+（y-2）²=25
• D． （x-1）²+（y-1）²=25

Answer 1

分析 設(shè)出圓心坐標，求出圓心到直線的距離的表達式，求出表達式的最小值，即可得到圓的半徑長，得到圓的方程，推出選項．

解答 解：設(shè)圓心為（a，$\frac{2}{a}$）（a＞0），
則r=$\frac{|2a+\frac{2}{a}+1|}{\sqrt{5}}$≥$\frac{|2\sqrt{2a•\frac{2}{a}}+1|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
當且僅當a=1時等號成立．
當r最小時，圓的面積S=πr²最小，
此時圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=5；
故選A．

點評 本題是基礎(chǔ)題，考查圓的方程的求法，點到直線的距離公式、基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力．