Question

6．已知橢圓線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，如圖所示，A（a，0），B（0，-b）原點到直線AB的距離為$\frac{4}{\sqrt{5}}$．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線l：y=kx+1（k≠0）交橢圓于不同的兩點E，F，且E，F都在以B為圓心的圓周上，求k．

Answer 1

分析 （1）由題意的離心率得到a，b的關系，再由原點到直線AB的距離為$\frac{4}{\sqrt{5}}$得a，b的另一方程，聯立求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）聯立直線方程和橢圓方程，求出EF的中點的坐標，由E，F都在以B為圓心的圓周上，可得k•k_BP=-1，由此列式求得k值．

解答 解：（1）∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴3a²=4c²，
又c²=a²-b²，∴a²=4b²，
根據題意，在Rt△OAB中，可得$ab=\frac{4}{\sqrt{5}}•\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
又a²=4b²，可得a=4，b=2，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kx-12=0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8k}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-12}{1+4{k}^{2}}$，
設EF的中點為P（x₀，y₀），則${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$，
${y}_{0}=k{x}_{0}+1=k•\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}+1=\frac{1}{1+4{k}^{2}}$，
即P（$\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}，\frac{1}{1+4{k}^{2}}$），
∵E，F都在以B為圓心的圓周上，∴k•k_BP=-1，
即$k•\frac{\frac{1}{1+4{k}^{2}}+2}{\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}-0}=-1$，解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線位置關系的應用，考查兩直線垂直與直線斜率的關系，是中檔題．