【題目】已知函數(shù).
(1)當時,
①若曲線與直線相切,求的值;
②若曲線與直線有公共點,求的取值范圍.
(2)當時,不等式對于任意正實數(shù)恒成立,當取得最大值時,求的值.
【答案】(1)①1 ,②;(2)1,-1.
【解析】
當時,,所以,
① 設(shè)切點為,列出方程組,即可求得,得到答案
②由題意,得方程有正實數(shù)根,即方程有正實數(shù)根,記,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值,即可求解的取值范圍
由題意得,當時,對于任意正實數(shù)恒成立,所以當時,對于任意正實數(shù)恒成立,由知,,進而得到,
,,……,得到當時,,進而得到對于任意正實數(shù)恒成立,再利用二次函數(shù)的性質(zhì),即可得到結(jié)論
(1)解:當時,,所以.
①設(shè)切點為,則
由②③得,
由①得代入④得,
所以.
②由題意,得方程有正實數(shù)根,
即方程有正實數(shù)根,
記,令,
當時,;當時,;
所以在上為減函數(shù),在上為增函數(shù);
所以.
若,則,不合;
若,由①知適合;
若,則,又,
所以,由零點存在性定理知在上必有零點.
綜上,c的取值范圍為.
(2)由題意得,當時,對于任意正實數(shù)x恒成立,
所以當時,對于任意正實數(shù)x恒成立,
由(1)知,,
兩邊同時乘以x得,①
兩邊同時加上得,②,
所以(*),當且僅當時取等號.
對(*)式重復(fù)以上步驟①②可得,,
進而可得,,,……,
所以當,時,,當且僅當時取等號.
所以.
當取最大值1時,
令上式中得, ,所以,
所以對于任意正實數(shù)x恒成立,
即對于任意正實數(shù)x恒成立,
所以,所以函數(shù)的對稱軸,
所以,即,所以,.
又由,兩邊同乘以x2得,,
所以當,時,也恒成立,
綜上,得,.
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【題目】如圖,四邊形中,,,,,,分別在,上,,現(xiàn)將四邊形沿折起,使平面平面.
(Ⅰ)若,在折疊后的線段上是否存在一點,且,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,說明理由;
(Ⅱ)當三棱錐的體積最大時,求二面角的余弦值.
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【題目】現(xiàn)對一塊長米,寬米的矩形場地ABCD進行改造,點E為線段BC的中點,點F在線段CD或AD上(異于A,C),設(shè)(單位:米),的面積記為(單位:平方米),其余部分面積記為(單位:平方米).
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)該場地中部分的改造費用為(單位:萬元),其余部分的改造費用為(單位:萬元),記總的改造費用為W單位:萬元),求W最小值,并求取最小值時x的值.
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【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AC=AB=AA1,E是BC的中點.
(1)求證:AE⊥B1C;
(2)求異面直線AE與A1C所成的角的大。
(3)若G為C1C中點,求二面角C-AG-E的正切值.
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【題目】如圖,四棱錐中,底面是邊長為4的正方形,側(cè)面為正三角形且二面角為.
(Ⅰ)設(shè)側(cè)面與的交線為,求證:;
(Ⅱ)設(shè)底邊與側(cè)面所成角的為,求的值.
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【題目】某公司一年需購買某種原料400噸,設(shè)公司每次都購買噸,每次運費為4萬元,一年的總存儲費用為萬元.
(1)要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則每次購買多少噸?
(2)要使一年的總運費與總存儲費用之和不超過200萬元,則每次購買量在什么范圍?
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【題目】2017高考特別強調(diào)了要增加對數(shù)學(xué)文化的考查,為此某校高三年級特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的專題訓(xùn)練卷(文、理科試卷滿分均為100分),并對整個高三年級的學(xué)生進行了測試.現(xiàn)從這些學(xué)生中隨機抽取了50名學(xué)生的成績,按照成績?yōu)?/span>, ,…, 分成了5組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖(假定每名學(xué)生的成績均不低于50分).
(1)求頻率分布直方圖中的的值,并估計所抽取的50名學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);
(2)若高三年級共有2000名學(xué)生,試估計高三學(xué)生中這次測試成績不低于70分的人數(shù);
(3)若在樣本中,利用分層抽樣的方法從成績不低于70分的三組學(xué)生中抽取6人,再從這6人中隨機抽取3人參加這次考試的考后分析會,試求兩組中至少有1人被抽到的概率.
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【題目】按照國家質(zhì)量標準:某種工業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標值落在[100,120)內(nèi),則為合格品,否則為不合格品.某企業(yè)有甲乙兩套設(shè)備生產(chǎn)這種產(chǎn)品,為了檢測這兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況,隨機從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本對規(guī)定的質(zhì)量指標值進行檢測.表1是甲套設(shè)備的樣本頻數(shù)分布表,圖1是乙套設(shè)備的樣本頻率分布直方圖.
質(zhì)量指標值 | [95,100) | [100,105) | [105,110) | [110,115) | [115,120) | [120,125] |
頻數(shù) | 1 | 4 | 19 | 20 | 5 | 1 |
表1:甲套設(shè)備的樣本頻數(shù)分布表
(1)將頻率視為概率,若乙套設(shè)備生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品,則其中合格品約有多少件?
(2)填寫下面2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認為這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與甲乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān):
甲套設(shè)備 | 乙套設(shè)備 | 合計 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合計 |
(3)根據(jù)表和圖,對甲、乙兩套設(shè)備的優(yōu)劣進行比較.參考公式及數(shù)據(jù):x2=
P(Х2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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