Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，

①若曲線與直線相切，求的值；

②若曲線與直線有公共點(diǎn)，求的取值范圍．

（2）當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)于任意正實(shí)數(shù)恒成立，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①1 ，②；（2）1，-1.

【解析】

當(dāng)時(shí)，，所以，

① 設(shè)切點(diǎn)為，列出方程組，即可求得，得到答案

②由題意，得方程有正實(shí)數(shù)根，即方程有正實(shí)數(shù)根，記，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即可求解的取值范圍

由題意得，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)恒成立，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)恒成立，由知，，進(jìn)而得到，

，，……，得到當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而得到對(duì)于任意正實(shí)數(shù)恒成立，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)論

（1）解：當(dāng)時(shí)，，所以．

①設(shè)切點(diǎn)為，則

由②③得，

由①得代入④得，

所以．

②由題意，得方程有正實(shí)數(shù)根，

即方程有正實(shí)數(shù)根，

記，令，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；

所以．

若，則，不合；

若，由①知適合；

若，則，又，

所以，由零點(diǎn)存在性定理知在上必有零點(diǎn)．

綜上，c的取值范圍為．

（2）由題意得，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x恒成立，

所以當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x恒成立，

由（1）知，，

兩邊同時(shí)乘以x得，①

兩邊同時(shí)加上得，②，

所以（*），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

對(duì)（*）式重復(fù)以上步驟①②可得，，

進(jìn)而可得，，，……，

所以當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

所以．

當(dāng)取最大值1時(shí)，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x恒成立，

令上式中得， ，所以，

所以對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x恒成立，

即對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x恒成立，

所以，所以函數(shù)的對(duì)稱軸，

所以，即，所以，．

又由，兩邊同乘以x2得，，

所以當(dāng)，時(shí)，也恒成立，

綜上，得，．