Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，側(cè)面為正三角形且二面角為．

（Ⅰ）設(shè)側(cè)面與的交線為，求證：；

（Ⅱ）設(shè)底邊與側(cè)面所成角的為，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）通過得到側(cè)面，再通過線面平行性質(zhì)定理可得結(jié)論；（2）取中點(diǎn)、中點(diǎn)，連、，根據(jù)二面角定義可得，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，如圖建立右手空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，根據(jù) 可得結(jié)果.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，所以側(cè)面．

又因?yàn)閭?cè)面與的交線為，所以．

（2）

取中點(diǎn)、中點(diǎn)，連、，

則、．

所以是側(cè)面與底面成二面角的平面角．

從而．

作于，則底面．

因?yàn)?/span>，，

所以，．

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，如圖建立右手空間直角坐標(biāo)系．

則，，．

設(shè)是平面的法向量，

則 ，．取．

則 ．