Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+3x+1，x≤0\\ ax-3，x＞0\end{array}\right.$在區(qū)間（-∞，2]上至少有2個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（{0\;，\frac{9}{4}}]$．

Answer 1

分析 由f（x）=ax-3最多有1個(gè)零點(diǎn)知ax²+3x+1=0一定有解，從而分一次方程與二次方程討論解的個(gè)數(shù)，再結(jié)合ax-3=0求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+3x+1，x≤0\\ ax-3，x＞0\end{array}\right.$在區(qū)間（-∞，2]上至少有2個(gè)零點(diǎn)，
且f（x）=ax-3最多有1個(gè)零點(diǎn)，
故ax²+3x+1=0一定有解，
若a=0，則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+3x+1，x≤0\\ ax-3，x＞0\end{array}\right.$僅有一個(gè)零點(diǎn)-$\frac{1}{3}$，故不成立；
故△=9-4a≥0，
故a≤$\frac{9}{4}$，
又∵x≤0時(shí)，f（x）=ax²+3x+1，且f（0）=1＞0，
故a＞0，
故當(dāng)0＜a＜$\frac{9}{4}$時(shí)，f（x）=ax²+3x+1在（-∞，0]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a=$\frac{9}{4}$時(shí)，f（x）=ax²+3x+1在（-∞，0]上有-個(gè)零點(diǎn)，
此時(shí)$\frac{9}{4}$x-3=0，解得，x=$\frac{4}{3}$；
綜上所述，
實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（{0\;，\frac{9}{4}}]$，
故答案為：$（{0\;，\frac{9}{4}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)及函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．