Question

7．設(shè)三角形ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別是a、b、c，且B=$\frac{π}{3}$．若△ABC不是鈍角三角形，求：
（1）角C的范圍；
（2）$\frac{2a}{c}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由三角形內(nèi)角和定理可得$A=\frac{2π}{3}-C$，由$0＜C≤\frac{π}{2}，0＜A≤\frac{π}{2}$即可求得C的范圍．
（2）由正弦定理及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡可得$\frac{2a}{c}$=1+$\frac{\sqrt{3}cosC}{sinC}$，由角C的范圍，即可求得$\frac{2a}{c}$的取值范圍．

解答 解：（1）因為$A+C=\frac{2π}{3}$，$A=\frac{2π}{3}-C$…（2分）
由$0＜C≤\frac{π}{2}，0＜A≤\frac{π}{2}$得：$\frac{π}{6}≤C≤\frac{π}{2}$…（4分）
（2）$\frac{2a}{c}=\frac{4RsinA}{2RsinC}=\frac{2sinA}{sinC}$…（6分）
=$\frac{2sin（B+C）}{sinC}=\frac{{sinC+\sqrt{3}cosC}}{sinC}=1+\frac{{\sqrt{3}cosC}}{sinC}$（$\frac{π}{6}≤C≤\frac{π}{2}$）…（10分）
當(dāng)$C=\frac{π}{2}$時，$\frac{2a}{c}=1+\frac{{\sqrt{3}cosC}}{sinC}=1$
當(dāng)$\frac{π}{6}≤C＜\frac{π}{2}$時，$\frac{2a}{c}=1+\frac{{\sqrt{3}}}{tanC}∈（{1，4}]$…（12分）
所以$\frac{2a}{c}$=$1+\frac{{\sqrt{3}}}{tanC}∈[{1，4}]$．…（14分）

點評 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，正弦定理及兩角和的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．