Question

8．已知sinθ+cosθ=sinθcosθ，則角θ所在的區(qū)間可能是（　�。�

• A． （$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）
• B． （$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）
• C． （-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{4}$）
• D． （π，$\frac{5π}{4}$）

Answer 1

分析 設(shè)sinθ+cosθ=t，由題意可得t=1-$\sqrt{2}$，故有sinθ和cosθ異號(hào)，排除A、D，再逐一檢驗(yàn)B、C選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：∵sinθ+cosθ=sinθcosθ，設(shè)sinθ+cosθ=t，則1+2sinθcosθ=t²，
∴t=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，求得t=1+$\sqrt{2}$（不合題意，舍去），或 t=1-$\sqrt{2}$，
即sinθ+cosθ=1-$\sqrt{2}$=sinθcosθ，故sinθ和cosθ異號(hào)，故排除A、D．
在（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）上，sinθ∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），cosθ∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），sinθ+cosθ＞0，不滿(mǎn)足條件，故排除B．
（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{4}$）上，sinθ∈（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），cosθ∈（ 0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），sinθ+cosθ＜0，滿(mǎn)足條件，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．