Question

16．在某化學(xué)反應(yīng)的中間階段，壓力保持不變，溫度從1°變化到5°，反應(yīng)結(jié)果如下表所示（x代表溫度，y代表結(jié)果）：

x	1	2	3	4	5
y	3	5	7	10	11

（1）請(qǐng)?jiān)诮o出的坐標(biāo)系中畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖（點(diǎn)要描粗）
（2）求化學(xué)反應(yīng)的結(jié)果y對(duì)溫度x的線(xiàn)性回歸方程$\hat y=\widehatbx+\hat a$；
（3）判斷變量x與y是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，并預(yù)測(cè)當(dāng)溫度達(dá)到10°時(shí)反應(yīng)結(jié)果為多少？
附：線(xiàn)性回歸方程$\hat y=\widehatbx+\hat a$中，$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\bar x}^2}}}$，$\hat a=\bar y-\hat b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）在給出的坐標(biāo)系中畫(huà)出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖即可；
（2）由題意計(jì)算平均數(shù)與回歸系數(shù)，寫(xiě)出回歸方程，
（3）由回歸系數(shù)$（\widehatb=2.1＞0）$判斷x與y之間是正相關(guān)，利用回歸方程計(jì)算x=10時(shí)$\stackrel{∧}{y}$的值．

解答 解：（1）在給出的坐標(biāo)系中畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖（點(diǎn)要描粗），如圖所示；

（2）由題意，n=5，計(jì)算$\overline x=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5{x_i}=3$，
$\overline y=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5{y_i}=7.2$，
又$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}-5{\overline x^2}=55-5×9=10$，
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}-5\overline x\overline y=129-5×3×7.2=21$；
∴$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{21}{10}=2.1$，
$\widehata=\overline y-b\overline x=7.2-2.1×3=0.9$，
故所求的回歸方程為$\widehaty=2.1x+0.9$；
（3）由于變量y的值隨溫度x的值增加而增加$（\widehatb=2.1＞0）$，故x與y之間是正相關(guān)．
當(dāng)x=10時(shí)，$\widehaty=2.1×10+0.9=21.9$，
即預(yù)測(cè)當(dāng)溫度達(dá)到10°時(shí)反應(yīng)結(jié)果為21.9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了散點(diǎn)圖與線(xiàn)性回歸方程的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．