Question

7．平面直角坐標(biāo)系xOy中，$A（-2，0），B（-\frac{1}{2}，0），P（{x_0}，{y_0}）$，滿足：PA＜2PB，則直線x₀x+y₀y=1與圓x²+y²=1的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．

Answer 1

分析 根據(jù)PA＜2PB，利用兩點(diǎn)之間的距離公式建立關(guān)系，判斷P的位置，利用P到直線x₀x+y₀y=1的距離，即可判斷與圓x²+y²=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：由題意，$A（-2，0），B（-\frac{1}{2}，0），P（{x_0}，{y_0}）$，
∵PA＜2PB，
∴（${（x}_{0}+2）^{2}+{{y}_{0}}^{2}＜4×[（{x}_{0}+\frac{1}{2}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}]$．
整理可得：${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}＞1$．
可知P在圓x²+y²=1之外，
圓心到直線x₀x+y₀y=1距離d=$\frac{1}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}}$＜1．
∴x₀x+y₀y=1與圓x²+y²=1必有兩個(gè)交點(diǎn)．
答案為2

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系．考查了數(shù)形結(jié)合的思想，直線與圓的位置關(guān)系的判定．解題的關(guān)鍵是看圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系．