Question

18．已知點(diǎn)P在曲線y=e^x上，點(diǎn)Q在曲線y=lnx上，則|PQ|的最小值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 因曲線y=e^x與y=lnx關(guān)于直線y=x對(duì)稱．所求的最小值為曲線y=e^x上的點(diǎn)到直線y=x最小距離的兩倍．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出．

解答 解：因曲線y=e^x與y=lnx關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
所求的最小值為曲線y=e^x上的點(diǎn)到直線y=x最小距離的兩倍．
對(duì)y=e^x求導(dǎo)，可得y′=e^x，
設(shè)與直線y=x平行的切線的切點(diǎn)為M$（{x}_{0}，{e}^{{x}_{0}}）$，則${e}^{{x}_{0}}$=1，解得x₀=0，
可得切點(diǎn)M（0，1），則P到直線y=x的最小距離d=$\frac{|0-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴|PQ|的最小值是$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)切線、相互平行的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．