Question

已知數(shù)列{a_n}，S_n為其前n項(xiàng)和，且S_n+1=4a_n+2．（n∈N^*），a₁=1，
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，求b_n
（2）設(shè)c_n=

an

2n

，求證：{c_n}是等差數(shù)列
（3）求a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）在數(shù)列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，作差后即可得到數(shù)列{b_n}是以3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）由b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，兩邊同時(shí)除以2ⁿ⁺¹即可證得c_n=

an

2n

為等差數(shù)列；
（3）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得c_n，即可得到a_n．

解答： 解：（1）由S_n+1=4a_n+2，得
S_n=4a_n-1+2（n≥2），
兩式作差得：a_n+1=4a_n-4a_n-1（n≥2），
即a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2），
∴b_n=2b_n-1（n≥2）．
由S_n+1=4a_n+2，a₁=1，求得a₂=5．
∴a₂-2a₁=5-2=3，即b₁=3．
∴數(shù)列{b_n}是以3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
則bn=3•2n-1；
（2）由b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，得

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，
又

a1

2

=

1

2

，
∴數(shù)列{

an

2n

}構(gòu)成以

1

2

為首項(xiàng)，以

3

4

為公差的等差數(shù)列，
∵c_n=

an

2n

，
∴{c_n}是以

1

2

為首項(xiàng)，以

3

4

為公差的等差數(shù)列；
（3）由（2）知，

an

2n

=

1

2

+

3

4

(n-1)=

3

4

n-

1

4

，
∴an=

1

4

(3n-1)•2n．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系與對稱關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．