Question

3．某校準備從報名的7位教師（其中男教師4人，女教師3人）中選3人去邊區(qū)支教．
（Ⅰ）設所選 3人中女教師的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望；
（Ⅱ）若選派的三人依次到甲、乙、丙三個地方支教，求甲地是男教師的情況下，乙地為女教師的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定X的所有可能取值，求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX；
（Ⅱ）設事件A為“甲地是男教師”，事件B為“乙地是女教師”，利用條件概率公式，即可求出概率．

解答 解：（Ⅰ）X的所有可能取值為0，1，2，3，
且$P（X=0）=\frac{C_4^3}{C_7^3}=\frac{4}{35}$，$P（X=1）=\frac{C_3^1C_4^2}{C_7^3}=\frac{18}{35}$，$P（X=2）=\frac{C_3^2C_4^1}{C_7^3}=\frac{12}{35}$，$P（X=3）=\frac{C_3^3}{C_7^3}=\frac{1}{35}$，
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

故$E（X）=0×\frac{4}{35}+1×\frac{18}{35}+2×\frac{12}{35}+3×\frac{1}{35}=\frac{9}{7}$．…（6分）
（Ⅱ）設事件A為“甲地是男教師”，事件B為“乙地是女教師”，
則$P（A）=\frac{C_4^1A_6^2}{A_7^3}=\frac{4}{7}$，$P（AB）=\frac{C_4^1C_3^1C_5^1}{A_7^3}=\frac{2}{7}$，
所以$P（B|A）=\frac{P（AB）}{P（A）}=\frac{1}{2}$．…（12分）

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．