Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD=

1

2

AD=2，O為AD上一點(diǎn)，且 AO=1，平面外兩點(diǎn)P，E滿(mǎn)足PO=

3

2

，AE=1，EA⊥平面ABCD，PO∥EA．
（1）證明：BE∥平面PCD．
（2）求該幾何體的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：組合幾何體的面積、體積問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題

分析：（1）在平面PCD內(nèi)作直線(xiàn)FC，利用直線(xiàn)與平面平行的判定定理證明BE∥平面PCD．
（2）分割幾何體為兩個(gè)棱錐，利用已知數(shù)據(jù)即可求該幾何體的體積．

解答： 解：（1）作EF∥AD，交PD于F，連結(jié)FC，OB，作FG∥EA，交AD于G，連結(jié)GC，
∵AD∥BC，AB=BC=CD=

1

2

AD=2，EF∥AD，
∴AEFG是矩形，∵BC

∥

.

AG，∴EF

∥

.

BC，
∴BCFE是平行四邊形，BE∥CF，CF?面PCD，BE?面PCD，
∴BE∥平面PCD．
（2）由題意，幾何體看作P-BCDO，B-POAE兩個(gè)棱錐的體積的和，
∵EA⊥平面ABCD，PO∥EA，∴PO⊥平面ABCD，
∵AO=1，平面外兩點(diǎn)P，E滿(mǎn)足PO=

3

2

，AE=1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD=

1

2

AD=2，
∴BO⊥平面PEAO，
∴幾何體的體積為：V_P-BCDO+V_B-POAE=

1

3

×

2+3

2

×

3

×

3

2

+

1

3

×

1+ 3 2

2

×1×

3

=

5 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的證明，判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力．