Question

如圖，在直角坐標系xoy中，AB是半圓O：x²+y²=1（y≥0）的直徑，點C是半圓O上任一點，延長AC到點P，使CP=CB，當點C從點B運動到點A時，動點P的軌跡的長度是（　�。�

• A、2π
• B、

  2

  π
• C、π
• D、4

  2

  π

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：計算題,直線與圓

分析：根據(jù)題意，△BCP是以C為直角頂點的等腰直角三角形，可得直線PA到PB的角為45°．由此P（x，y），利用直線的斜率公式建立關(guān)于x、y的關(guān)系式，化簡得到x²+（y-1）²=2，進而利用圓的周長公式算出點P的軌跡的長度．

解答： 解：連結(jié)BP，根據(jù)題意可得△BCP是以C為直角頂點的等腰直角三角形．
∴∠APB=45°，即直線PA到PB的角為45°，
設(shè)P（x，y），可得k_PA=

y

x+1

，k_PB=

y

x-1

，
∴tan45°=

y x-1 - y x+1

1+ y x-1 • y x+1

=1，
化簡得x²+（y-1）²=2．
∴點P的軌跡方程為x²+（y-1）²=2，
由已知y≥0可得k_PA=

y

x+1

＞0，
可知P點的軌跡是以（0，1）為圓心、半徑r=

2

的半圓，
可得軌跡的長度是

1

2

×2πr=

2

π．
故選：B

點評：本題給出動點滿足的條件，求動點的軌跡形成圖形的長度．著重考查了圓的性質(zhì)、直線的斜率公式和動點的軌跡及其應用等知識，屬于中檔題．