Question

1．設函數f（x）=|x-1|+$\frac{1}{2}$|x-3|．
（1）求不等式f（x）＞4的解集；
（2）若不等式f（x）$≤a（x+\frac{1}{2}）$的解集非空，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據絕對值的性質表示成分段函數形式，進行解不等式即可．
（2）設$g（x）=a（x+\frac{1}{2}）$，利用數形結合進行求解即可．

解答 解：（1）函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}，}&{x≥3}\\{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}，}&{1＜x＜3}\\{-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}，}&{x≤1}\end{array}\right.$，…（3分）
若x≥3，由f（x）＞4得$\frac{3}{2}$x-$\frac{5}{2}$＞4，得x＞$\frac{13}{3}$，
若1＜x＜3，由f（x）＞4得$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$＞4，得x＞7，此時x無解，
若x≤1，由f（x）＞4得-$\frac{3}{2}$x+$\frac{5}{2}$＞4，得x＜-1，此時x＜-1，
綜上f（x）＞4的解集為（-∞，-1）∪（$\frac{13}{3}$，+∞）…（5分）
（2）設$g（x）=a（x+\frac{1}{2}）$，g（x）表示過點$（-\frac{1}{2}，0）$，斜率為a的直線，…（6分）
$f（x）≤a（x+\frac{1}{2}）$的解集非空，
即y=f（x）的圖象在g（x）圖象下方有圖象，
或與g（x）圖象有交點，…（7分）
當$g（x）=a（x+\frac{1}{2}）$經過點A（3，2）時，（3+$\frac{1}{2}$）a=2，得a=$\frac{4}{7}$，
當$g（x）=a（x+\frac{1}{2}）$，與y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{5}{2}$平行時，a=-$\frac{3}{2}$，
結合圖象可知$a＜-\frac{3}{2}或a≥\frac{4}{7}$…（10分）

點評 本題主要考查絕對值不等式的求解，以及不等式恒成立問題，利用數形結合是解決本題的關鍵．