Question

6．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），B（m²+1，2），
（1）求直線l的方程；
（2）求直線l的傾斜角的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m²+1=2時(shí)直線不存在斜率其方程為x=2，當(dāng)m²+1≠2時(shí)，利用兩點(diǎn)連線的斜率公式求出AB的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式寫出直線方程；
（2）設(shè)直線AB的傾斜角為θ，根據(jù)斜率的計(jì)算公式，可得AB的斜率表達(dá)式，即可得k的范圍，由傾斜角與斜率的關(guān)系，可得tanθ的范圍，進(jìn)而由正切函數(shù)的圖象分析可得答案．

解答 解：（1）：①當(dāng)m²+1=2即m=±1時(shí)，直線l的方程為x=2．
②當(dāng)m²+1≠2即m≠±1時(shí)，k_AB=$\frac{2-1}{{m}^{2}+1-2}$=$\frac{1}{{m}^{2}-1}$．
又經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），由點(diǎn)斜式得方程：y-1=$\frac{1}{{m}^{2}-1}$（x-2）．
即：x-（m²-1）y+m²-3=0．
綜上所述，直線l的方程為x=2或x-（m²-1）y+m²-3=0（m≠±1）；
（2）設(shè)直線AB的傾斜角為θ，0≤θ＜π，
由（1）知直線AB的斜率為 k=$\frac{1}{{m}^{2}-1}$且m≠±1．
①當(dāng)m＞1或m＜-1時(shí)，易得0＜k≤1，
由傾斜角與斜率的關(guān)系，即tanθ≤1，
由正切函數(shù)的圖象，可得θ的范圍是[0，$\frac{π}{4}$]∪（$\frac{π}{2}$，π）；
②當(dāng)-1＜m＜1時(shí)，易得k＞1，
由傾斜角與斜率的關(guān)系，即tanθ＞1，
由正切函數(shù)的圖象，可得θ的范圍是（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．
綜上所述，直線l的傾斜角的取值范圍是[0，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{π}{2}$，π）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的斜率．求直線方程時(shí)，一定要注意直線的斜率不存在時(shí)的情況，若題中含參數(shù)，一般需分類討論，常與圓錐曲線結(jié)合出現(xiàn)在解答題中．