Question

已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若x∈R時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)h（x）=|f（x）|+g（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用參數(shù)分離，討論①當(dāng)x=1時，②當(dāng)x≠1時，求出右邊函數(shù)的取值范圍，即可得到a的范圍；
（2）將h（x）寫成分段函數(shù)的形式，再由二次函數(shù)的最值求法，注意對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到最值．

解答： 解：（1）不等式f（x）≥g（x）對x∈R恒成立，
即（x²-1）≥a|x-1|（*）對x∈R恒成立，
①當(dāng)x=1時，（*）顯然成立，此時a∈R；
②當(dāng)x≠1時，（*）可變形為a≤

x2-1

|x-1|

，
令φ(x)=

x2-1

|x-1|

=

x+1，(x＞1) -(x+1)，(x＜1)

，
因?yàn)楫?dāng)x＞1時，φ（x）＞2，當(dāng)x＜1時，φ（x）＞-2，
所以φ（x）＞-2，故此時a≤-2．
綜合①②，得所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤-2；
（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+a|x-1|=

x2-ax+a-1，-2≤x≤-1 -x2-ax+a+1，-1＜x＜1 x2+ax-a-1，1≤x≤2

，
令

a

2

=-

3

2

，-

a

2

=-1，-

a

2

=1，

a

2

=-

3

2

，則a=-3，a=-2，a=2.h(-2)=3a+3，h(-1)=2a，h(1)=0，h(-

a

2

)=

a2

4

+a+1，h(2)=3+a．
①當(dāng)a＜-3時，x=

a

2

＜-

3

2

，x=-

a

2

＞

3

2

．
則h（x）_max=max{h（-1），h（1）}=h（1）=0．
①-3≤a≤-2時，-

3

2

＜

a

2

＜-1，1＜-

a

2

＜

3

2

．
則h（x）_max=max{h（-2），h（1），h（2）}，
因?yàn)閔（-2）=3a+3＜0，h（1）=0，h（2）=3+a≥0，所以h（x）_max=h（2）=3+a．
③當(dāng)-2＜a＜2時，-1＜

a

2

＜1，-1＜-

a

2

＜1．
則h(x)max=max{h(-2)，h(-

a

2

)，h(2)}，
因?yàn)?span id="uom4udo" class="MathJye">h(-2)=3a+3，h(-

a

2

)=

a2

4

+a+1＜h(2)=3+a．
若-2＜a＜0，h（-2）=3a+3＜h（2）=3+a．所以h（x）_max=h（2）=3+a．
若0≤a＜2，h（-2）=3a+3＞h（2）=3+a．所以h（x）_max=h（-2）=3a+3．
④當(dāng)a≥2時，

a

2

≥1，-

a

2

≤-1．
則h（x）_max=max{h（-2），h（-1），h（2）}=h（-2）=3a+3．
綜上所述，當(dāng)a＜-3時，h（x）在[-2，2]上的最大值為0；
當(dāng)-3≤a＜0時，h（x）在[-2，2]上的最大值為a+3；
當(dāng)a≥0時，h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3．

點(diǎn)評：本題考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查含參的函數(shù)的最值，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，以及二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．