Question

17．已知0＜β＜$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{3π}{4}$，cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{3π}{4}$+β）=$\frac{5}{13}$，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 根據(jù)同角的三角函數(shù)的關系和兩角差的正弦公式及誘導公式即可求出

解答 解：∵0＜β＜$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{3π}{4}$，（$\frac{π}{4}$-α
∴$\frac{3π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$+β＜π，-$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{4}$-α＜0，
∵cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{3π}{4}$+β）=$\frac{5}{13}$，
∴sin（$\frac{π}{4}$-α）=-$\frac{4}{5}$，cos（$\frac{3π}{4}$+β）=-$\frac{12}{13}$，
∴sin（α+β）=-sin[（$\frac{3π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]
=-[sin（$\frac{3π}{4}$+β）cos（$\frac{π}{4}$-α）-cos（$\frac{3π}{4}$+β）sin（$\frac{π}{4}$-α）]=-（$\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}$-$\frac{12}{13}$×$\frac{4}{5}$）=$\frac{33}{65}$．

點評 本題考查了同角的三角函數(shù)的關系和兩角差的正弦公式、誘導公式，屬于基礎題．