Question

由直線y=x+2上的點P向圓C：（x-4）²+（y+2）²=1引切線PT（T為切點），當(dāng)|PT|最小時，點P的坐標(biāo)是

（0，2）

．

Answer 1

分析：連結(jié)CT，可得CT⊥PT，Rt△PCT中利用勾股定理算出|PT|=

|PC|2-1

．根據(jù)點P在直線y=x+2上，設(shè)P的坐標(biāo)為 P（x，x+1），將|PT|表示成關(guān)于x的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得：P的坐標(biāo)為（0，2）時，|PT|有最小值，從而得到本題答案．

解答：解：圓（x-4）²+（y+2）²=1的圓心為C（4，-2），半徑r=1，
連結(jié)CT，可得
∵PT是圓C的切線，∴CT⊥PT
根據(jù)勾股定理得|PT|=

|PC|2-|CT|2

=

|PC|2-1

設(shè)P（x，x+2），可得
|PT|=

|PC|2-1

=

(x-4)2+[(x+2)+2]2-1

=

2x2+31

因此當(dāng)x=0時，|PT|_min=

31

．此時P的坐標(biāo)為（0，2）．
故答案為：（0，2）

點評：本題著重考查了圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、兩點間的距離公式和二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．