Question

已知向量

m

=（cosx．-

3

），

n

=（sin（x+

π

3

），cos²x-

1

4

），函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知銳角A滿足f（

A

2

+

π

6

）=

10

20

，且3acosC=2ccosA．求B．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角公式及兩角和差的正弦公式，結(jié)合周期公式計(jì)算即得；
（2）由同角的平方和商數(shù)關(guān)系，結(jié)合正弦定理和兩角和的正切公式，計(jì)算即可得到B．

解答： 解：（1）向量

m

=（cosx．-

3

），

n

=（sin（x+

π

3

），cos²x-

1

4

），
則函數(shù)f（x）=

m

•

n

=cosxsin（x+

π

3

）-

3

（cos²x-

1

4

）
=cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

（cos²x-

1

4

）=

1

2

sinxcosx-

3

2

cos²x+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

4

cos2x=

1

2

sin（2x-

π

3

），
則f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）銳角A滿足f（

A

2

+

π

6

）=

10

20

，
則

1

2

sinA=

10

20

，即sinA=

10

10

，
cosA=

1- 1 10

=

3 10

10

，tanA=

sinA

cosA

=

1

3

，
3acosC=2ccosA，
即有3sinAcosC=2sinCcosA，
即3tanA=2tanC，
tanC=

3

2

×

1

3

=

1

2

，
則tanB=-tan（A+C）=-

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

1 3 + 1 2

1- 1 6

=-1，
由B為三角形的內(nèi)角，則B=135°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和三角函數(shù)的恒等變換，考查正弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．