Question

9．已知函數f（x）=lnx，g（x）=alnx-$\frac{1}{2}$x²，h（x）=$\frac{1}{2}$x²．
（1）求函數g（x）的單調區(qū)間；
（2）對于函數f（x）與h（x）定義域內的任意實數x，若存在直線y=kx+b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，則稱直線y=kx+b為函數f（x）與h（x）的分界線，求證：直線y=x-$\frac{1}{2}$為函數f（x）與h（x）的分界線．

Answer 1

分析 （1）通過對g（x）=alnx-$\frac{1}{2}$x²求導可知g′（x）=$\frac{a-{x}^{2}}{x}$，分a≤0與a＞0兩種情況討論即可．
（2）通過解析式可知x的取值范圍是（0，+∞），通過記m（x）=f（x）-（x-$\frac{1}{2}$）并求導可知m（x）≤m（1），通過記n（x）=h（x）-（x-$\frac{1}{2}$）并求導可知n（x）≥n（1），進而計算可得結論．

解答 （1）解：∵g（x）=alnx-$\frac{1}{2}$x²，
∴g′（x）=$\frac{a}{x}$-x=$\frac{a-{x}^{2}}{x}$，
①當a≤0時，顯然當x＞0時g′（x）恒小于零，
此時函數g（x）在定義域（0，+∞）上單調遞減；
②當a＞0時，令′（x）=0，解得x=$\sqrt{a}$或x=-$\sqrt{a}$（舍），
∴當0＜x＜$\sqrt{a}$時函數g（x）單調遞增，當x＞$\sqrt{a}$時函數g（x）單調遞減；
綜上所述，當a≤0時函數g（x）的單調遞減區(qū)間為（0，+∞），
當a＞0時函數g（x）的單調遞增區(qū)間為（0，$\sqrt{a}$）、單調遞減區(qū)間為（$\sqrt{a}$，+∞）；
（2）證明：依題意，x的取值范圍是（0，+∞），
記m（x）=f（x）-（x-$\frac{1}{2}$）=lnx-x+$\frac{1}{2}$，則m′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
∵m（x）的單調遞增區(qū)間為（0，1）、單調遞減區(qū)間為（1，+∞），
∴m（x）≤m（1）=0-1+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$＜0，即f（x）≤x-$\frac{1}{2}$；
記n（x）=h（x）-（x-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{1}{2}$，則n′（x）=x-1，
∵n（x）的單調遞減區(qū)間為（0，1）、單調遞減增間為（1，+∞），
∴n（x）≥n（1）=$\frac{1}{2}$-1+$\frac{1}{2}$=0，即h（x）≥x-$\frac{1}{2}$；
根據分界線的定義可知，直線y=x-$\frac{1}{2}$為函數f（x）與h（x）的分界線．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查數形結合能力，考查運算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．