Question

18．若f（x）是定義在（-1，1）上的減函數(shù)，則下列不等式正確的是（　　）

• A． f（sinx）＞f（cosx）
• B． f（$\frac{{x}^{2}+1}{2}$）＞f（x）
• C． f（$\frac{1}{{3}^{x}+1}$）≥f（$\frac{1}{{2}^{x}+1}$）
• D． f（$\frac{1}{{3}^{x}+{3}^{-x}}$）≥f（$\frac{1}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$）

Answer 1

分析 由三角函數(shù)線可判斷出$x∈（\frac{π}{4}，1）$時，sinx＞cosx，根據(jù)f（x）的單調(diào)性便可判斷選項A的正誤，而對于B，C，D各選項可通過對自變量的值進行作差，配方，通分及提取公因式等方法，根據(jù)x的范圍及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性便可判斷出自變量值的大小關(guān)系，從而由f（x）的單調(diào)性即可判斷出對應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系，從而判斷選項的正誤．

解答 解：A．x∈$（\frac{π}{4}，1）$時，sinx＞cosx；
∵f（x）在（-1，1）上為減函數(shù)；
∴f（sinx）＜f（cosx），∴該選項錯誤；
B．x∈（-1，1）；
∴$\frac{{x}^{2}+1}{2}-x=\frac{1}{2}（x-1）^{2}$＞0；
∴$\frac{{x}^{2}+1}{2}＞x$，且f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減；
∴$f（\frac{{x}^{2}+1}{2}）＜f（x）$，∴該選項錯誤；
C.$\frac{1}{{3}^{x}+1}-\frac{1}{{2}^{x}+1}=\frac{{2}^{x}-{3}^{x}}{（{3}^{x}+1）（{2}^{x}+1）}$=$\frac{{3}^{x}[（\frac{2}{3}）^{x}-1]}{（{3}^{x}+1）（{2}^{x}+1）}$；
∵x∈（-1，1）；
∴x∈（-1，0）時，$（\frac{2}{3}）^{x}＞1$；
∴$\frac{1}{{3}^{x}+1}＞\frac{1}{{2}^{x}+1}$，且f（x）在（-1，1）上為減函數(shù)；
∴$f（\frac{1}{{3}^{x}+1}）＜f（\frac{1}{{2}^{x}+1}）$，∴該選項錯誤；
D.$\frac{1}{{3}^{x}+{3}^{-x}}-\frac{1}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=$\frac{{3}^{x}[（\frac{2}{3}）^{x}-1][1-（\frac{1}{6}）^{x}]}{（{3}^{x}+{3}^{-x}）（{2}^{x}+{2}^{-x}）}$；
∴①x∈（-1，0]時，$（\frac{2}{3}）^{x}-1≥0，1-（\frac{1}{6}）^{x}≤0$；
∴$\frac{1}{{3}^{x}+{3}^{-x}}≤\frac{1}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$；
②x∈（0，1）時，$（\frac{2}{3}）^{x}-1＜0，1-（\frac{1}{6}）^{x}＞0$；
∴$\frac{1}{{3}^{x}+{3}^{-x}}＜\frac{1}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$；
∴綜上得，$\frac{1}{{3}^{x}+{3}^{-x}}≤\frac{1}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$；
∵f（x）為（-1，1）上的減函數(shù)；
∴$f（\frac{1}{{3}^{x}+{3}^{-x}}）≥f（\frac{1}{{2}^{x}+{2}^{-x}}）$，∴該選項正確．
故選D．

點評 考查根據(jù)三角函數(shù)線比較sinx，cosx大小的方法，減函數(shù)的定義，作差法比較兩個式子的大小，配方法的應(yīng)用，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．