Question

已知（

x

+

1

3 x

）ⁿ的展開式中偶數項二項式系數和比（1+x）²ⁿ展開式中奇數項二項式系數和小120，求：
（Ⅰ）（1+x）²ⁿ展開式中二項式系數最大的項；
（Ⅱ）設（

x

+

1

3 x

）ⁿ展開式中的常數項為p，展開式中所有項系數的和為q，求p+q．

Answer 1

考點：二項式定理的應用,二項式系數的性質

專題：二項式定理

分析：（Ⅰ）求出n的值，利用二項式的性質即可求（1+x）²ⁿ展開式中二項式系數最大的項；
（Ⅱ）根據二項式的通項公式求出p，q即可求p+q．

解答： 解：由題意得2^n-1+120=2^2n-1，即（2ⁿ-16）（2ⁿ+15）=0，
∴2ⁿ-16=0，解得n=4．
（Ⅰ）（1+x）²ⁿ=（1+x）⁸，則展開式中二項式系數最大的項為第5項；
則T5=

C

4 8

x4=70x4．
（Ⅱ）（

x

+

1

3 x

）⁴的通項公式為T_r+1=

C

r 4

(

x

)4-r•(

1

3 x

)r=

C

r 4

•(

1

3

)r•x2-r，
由2-r=0，解得r=0，
則展開式中的常數項T₃=

C

2 4

•(

1

3

)2=

2

3

，
則常數項p=

2

3

，
令x=1，則展開式中所有項系數的和q=（1+

1

3

）⁴=

256

81

，
則p+q=

256

81

+

2

3

=

310

81

．

點評：本題主要考查二項式展開定理的應用，根據條件求出n的值以及求出二項展開式的通項公式是解決本題的關鍵．