Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）試判斷f （x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）若f （x）為定義域上的奇函數(shù)，求函數(shù)f （x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：f （x）是增函數(shù)．

證明如下：函數(shù)f （x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?∞），且 ，

任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，

則 ．

∵y=2x在R上單調(diào)遞增，且x1＜x2，

∴ ，

∴f （x2）﹣f （x1）＞0，即f （x2）＞f （x1），

∴f （x）在（﹣∞，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)

（2）解：∵f （x）是定義域上的奇函數(shù)，∴f （﹣x）=﹣f （x），

即 對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，化簡(jiǎn)得 ，

∴2a﹣2=0，即a=1．（也可利用f （0）=0求得a=1）∴ ，

∵2x+1＞1，∴ ，∴ ，∴ ．

故函數(shù)f （x）的值域?yàn)椋ī?，1）

【解析】（1）f （x）是增函數(shù)，利用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；（2）先求出a，再求函數(shù)f （x）的值域．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，需要了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇才能得出正確答案．