【題目】如圖,在三棱錐中, , , 的中點.

(1)求證: ;

(2)設平面平面 , ,求二面角的平面角的正弦值.

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】試題分析:

(1)由題意可得證得平面,然后利用線面垂直的判斷定理即可證得;

(2)由題意建立空間直角坐標系,結(jié)合平面的法向量可得面角的平面角的正弦值是.

試題解析:

(1)設中點為,連接,

因為,所以,

的中點,

所以.

因為,所以

因為,所以平面,又平面,

所以

(2)由(1)知

因為平面平面,平面平面 平面,

所以平面,又.

為坐標原點,分別以, 軸, 軸, 軸的正方向建立空間直角坐標系,如圖所示,

因為, , ,所以

中點, , ,得,

則, , , ,

設平面的一個法向量為

,即,可得

因為平面平面,平面平面 平面,

所以平面,所以平面的一個法向量為,

設二面角的大小為,則

所以,

∴二面角的平面角的正弦值為.

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