Question

7．若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夾角為$\frac{π}{3}$的單位向量，且向量$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
（1）若向量$\overrightarrow{c}$=k$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，問(wèn)$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow$能否共線(xiàn)，為什么？
（2）若$\overrightarrow{c}$=k$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$且$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$垂直，求k；
（3）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量共線(xiàn)的等價(jià)條件建立方程關(guān)系進(jìn)行求解判斷，
（2）根據(jù)向量垂直的等價(jià)條件進(jìn)行判斷，
（3）根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用求向量夾角即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夾角為$\frac{π}{3}$的單位向量，
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=|$\overrightarrow{{e}_{1}}$||$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cos$\frac{π}{3}$=1×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
（1）若向量$\overrightarrow{c}$=k$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
若$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow$共線(xiàn)，
則$\overrightarrow{c}$=m$\overrightarrow$，即k$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$=m（-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{k=-3m}\\{-2=2m}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{k=3}\end{array}\right.$，即當(dāng)k=3時(shí)，$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow$能共線(xiàn)，當(dāng)k≠3是，$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow$不能共線(xiàn)．
（2）若$\overrightarrow{c}$=k$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$且$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$垂直，
則$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=（k$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0，
即2k$\overrightarrow{{e}_{1}}$²-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$²+（k-4）$\overrightarrow{{e}_{1}}$′$\overrightarrow{{e}_{2}}$=0
即2k-2+（k-4）×$\frac{1}{2}$=0．
得k=$\frac{8}{5}$；
（3）|$\overrightarrow{a}$|²=4$\overrightarrow{{e}_{1}}$²+$\overrightarrow{{e}_{2}}$²+4$\overrightarrow{{e}_{1}}$′$\overrightarrow{{e}_{2}}$=4+1+4×$\frac{1}{2}$=7，
|$\overrightarrow$|²=9$\overrightarrow{{e}_{1}}$²+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$²-12$\overrightarrow{{e}_{1}}$′$\overrightarrow{{e}_{2}}$=9+4-12×$\frac{1}{2}$=7，
即|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=-6$\overrightarrow{{e}_{1}}$²+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$²+$\overrightarrow{{e}_{1}}$′$\overrightarrow{{e}_{2}}$=-6+4-$\frac{1}{2}$=$-\frac{5}{2}$，
則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{-\frac{5}{2}}{\sqrt{7}×\sqrt{7}}$=-$\frac{5}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量共線(xiàn)，向量垂直以及向量數(shù)量積的應(yīng)用，綜合性考查向量的性質(zhì)和應(yīng)用．