Question

17．已知：空間四邊形ABCD中，H、G分別是AD、CD的中點，E、F分別在BC、AB邊 上，且AF=$\frac{1}{3}$AB，CE=$\frac{1}{3}$BC
求證：EG、BD、FH三線共點．

Answer 1

分析 證明EG、BD、FH三線共點，即證明EG和FH的交點在兩個平面的交線上，利用公理三可得結(jié)論．

解答 證明：如下圖所示：

在空間四邊形ABCD中，
∵H、G分別是AD、CD的中點，
∴HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，
∵E、F分別在BC、AB邊 上，且AF=$\frac{1}{3}$AB，CE=$\frac{1}{3}$BC，
∴EF∥AC，EF=$\frac{2}{3}$AC，
∴HG∥EF，HG≠EF，
即EFGH四點共線，且EG，F(xiàn)H不平行，
故EG，F(xiàn)H必相交于P，
由E，G∈平面BCD得：EG?平面BCD，
∴P∈平面BCD，
同理P∈平面BAD，
故P在平面BCD和平面BAD的交線BD上，
即EG、BD、FH三線共點．

點評 所謂線共點問題就是證明三條或三條以上的直線交于一點．（1）證明三線共點的依據(jù)是公理3．（2）證明三線共點的思路是：先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過該點，把問題轉(zhuǎn)化為證明點在直線上的問題．實際上，點共線、線共點的問題都可以轉(zhuǎn)化為點在直線上的問題來處理．