Question

7．（1）分別計(jì)算：（1-$\frac{1}{4}$），（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$），（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）的值．
（2）根據(jù)（1）計(jì)算，猜想T_n=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）的表達(dá)式；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）=$\frac{4}{6}$，（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）=$\frac{5}{8}$．
（2）由（1）猜想：T_n=$\frac{2+n}{2n+2}$；
（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）=$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{6}$，（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）=$\frac{5}{8}$．
（2）由（1）猜想：T_n=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）=$\frac{2+n}{2n+2}$；
（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，T_k=$\frac{2+k}{2k+2}$．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，T_k+1=T_k•$（1-\frac{1}{（k+1）^{2}}）$=$\frac{2+k}{2k+2}$•$[1-\frac{1}{（k+2）^{2}}]$=$\frac{k+3}{2k+4}$=$\frac{2+（k+1）}{2（k+1）+2}$．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．
綜上可得：?n∈N^*，T_n=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）=$\frac{2+n}{2n+2}$成立．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法、遞推公式、數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了猜想歸納能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．