Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，點E為邊AD的中點，以AE為邊向外作正方形AEFG，現(xiàn)將正方形AEFG繞點A按順時針方向轉(zhuǎn)動至AE與AB重合，則

CE

•

DF

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)正方形AEFG繞著點A轉(zhuǎn)到AE'的角EAE'為θ（0°≤θ≤90°），運(yùn)用向量的三角形法則，及向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式，化簡可得

CE′

•

DF′

=5-2

5

sin（θ+α）（tanα=

1

2

，α為銳角），再由θ的范圍和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到取值范圍．

解答： 解：設(shè)正方形AEFG繞著點A轉(zhuǎn)到AE'的角EAE'為θ（0°≤θ≤90°），
則

CE′

•

DF′

=（

AE′

-

AC

）•（

AF′

-

AD

）
=

AE′

•

AF′

-

AE′

•

AD

-

AC

•

AF′

+

AC

•

AD

=1×

2

×cos45°-1×2cosθ-2

2

×

2

cos（90°-θ）+2

2

×2×

2

2

=1+4--2cosθ-4sinθ=5-2

5

sin（θ+α）（tanα=

1

2

，α為銳角），
α≤θ+α≤90°+α，則sinα≤sin（θ+α）≤1，
由tanα=

1

2

，α為銳角，解得，sinα=

1

5

，
則5-2

5

sin（θ+α）∈[5-2

5

，3]．
故答案為：[5-2

5

，3]．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義，考查三角函數(shù)的化簡，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．