Question

已知二次函數f（x）=x²+ax+b（a、b為常數）滿足f（0）=f（1），方程f（x）=x有兩個相等的實數根．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當x∈[0，4]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：二次函數的性質,函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由f（0）=f（1），且f（x）=x有兩個相等的實數根，求出a、b的值，從而得f（x）的解析式；
（2）由（1）中函數的解析式，求出函數的單調性，進而可求出f（x）在x∈[0，4]時的最值，即得值域．

解答： 解：（1）∵二次函數f（x）=x²+ax+b（a，b為常數）滿足f（0）=f（1），
∴二次函數f（x）=x²+ax+b的圖象關于直線x=

1

2

對稱，
故-

a

2

=

1

2

，解得：a=-1，
又∵方程f（x）=x有兩個相等的實數根．
即x²-2x+b=0有兩個相等的實數根．
即△=4-4b=0，
解得：b=1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）∵函數f（x）=x²-x+1的圖象是開口朝上，且以直線x=

1

2

為對稱軸的拋物線，
故函數f（x）在[0，

1

2

]上為減函數，在[

1

2

，4]上為增函數，
故當x=

1

2

時，函數f（x）取最小值

3

4

，當x=4時，函數f（x）取最大值13，
故當x∈[0，4]時，函數f（x）的值域為[

3

4

，13]．

點評：本題考查了求函數的解析式以及利用函數的圖象與性質求最值，從而得值域的問題，是基礎題．