Question

【題目】已知函數(shù) ，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（1）若x=1是函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的極值點，求實數(shù)a的值；
（2）若對任意的x1 ， x2∈[1，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）都有f（x1）≥g（x2）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，g（x）=x+lnx，

∴ ，其定義域為（0，+∞），

∴ ．

∵x=1是函數(shù)h（x）的極值點，

∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．

∵a＞0，∴

經(jīng)檢驗當(dāng) 時，x=1是函數(shù)h（x）的極值點，

∴

（2）解：對任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等價于

對任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．

當(dāng)x∈[1，e]時， ．

∴函數(shù)g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函數(shù)．

∴[g（x）]max=g（e）=e+1．

∵ ，且x∈[1，e]，a＞0．

①當(dāng)0＜a＜1且x∈[1，e]時， ，

∴函數(shù) 在[1，e]上是增函數(shù)，

∴ ．

由1+a2≥e+1，得a≥ ，

又0＜a＜1，∴a不合題意；

②當(dāng)1≤a≤e時，

若1≤x＜a，則 ，

若a＜x≤e，則 ．

∴函數(shù) 在[1，a）上是減函數(shù)，在（a，e]上是增函數(shù)．

∴[f（x）]min=f（a）=2a．

由2a≥e+1，得a≥ ，

又1≤a≤e，∴ ≤a≤e；

③當(dāng)a＞e且x∈[1，e]時， ，

∴函數(shù) 在[1，e]上是減函數(shù)．

∴ ．

由 ≥e+1，得a≥ ，

又a＞e，∴a＞e；

綜上所述：a的取值范圍為

【解析】（1）通過 、x=1是函數(shù)h（x）的極值點及a＞0，可得 ，再檢驗即可； （2）通過分析已知條件等價于對任意的x1 ， x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max ． 結(jié)合當(dāng)x∈[1，e]時及 可知[g（x）]max=g（e）=e+1．利用 ，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三種情況討論即可．
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．