Question

【題目】已知雙曲線(xiàn)實(shí)軸長(zhǎng)為6，一條漸近線(xiàn)方程為4x﹣3y=0．過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F作傾斜角為 的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)
（1）求雙曲線(xiàn)的方程；
（2）求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)C到焦點(diǎn)F的距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題得2a=6， ，

得a=3，b=4，

可得雙曲線(xiàn)方程為

（2）解：由題意可得F（5，0），直線(xiàn)AB的方程為y=x﹣5，

聯(lián)立 ，

消去y，可得7x2+90x﹣369=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得 ，

可得中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為 ，

可得C（﹣ ，﹣ ），

F點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=5，可得F（5，0），

即有|CF|= =

【解析】（1）運(yùn)用雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程可得 ，結(jié)合條件2a=6，可得a，b，進(jìn)而得到雙曲線(xiàn)的方程；（2）求得直線(xiàn)AB的方程，代入雙曲線(xiàn)的方程，消去y，可得x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得C的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可得到所求值．