Question

7．已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在同一個球面上，底面△ABC滿足AB=BC=$\sqrt{3}$，AC=3，若該三棱錐體積的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，則其外接球的半徑為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 如圖所示，由AB=BC=$\sqrt{3}$，AC=3，利用余弦定理可得B，．當DB⊥平面ABC時，該三棱錐取得體積的最大值為．△ABC的外接圓的圓心為B，半徑為r，利用正弦定理可得r，由V_D-ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，解得DB．設三棱錐D-ABC的外接球的球心為O，在Rt△OBC中，R²=（3-R）²+3，解出R即可．

解答 解：如圖所示，由AB=BC=$\sqrt{3}$，AC=3，
可得cosB=$\frac{3+3-9}{2×\sqrt{3}×\sqrt{3}}=-\frac{1}{2}$，B∈（0，π），
∴B=120°，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×sin12{0}^{0}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
設△ABC的外接圓的半徑為r，∵$\frac{3}{sin12{0}^{0}}=2r$，r=$\sqrt{3}$．
當DB⊥平面ABC時，該三棱錐取得體積的最大值為 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
由V_D-ABC=$\frac{1}{3}×DB×\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
解得DB=3．
設三棱錐D-ABC的外接球的球心為O，
在Rt△OBC中，R²=（3-R）²+（$\sqrt{3}$）²，
解得R=2．
故選：B．

點評 本題考查了空間位置關系、球的性質(zhì)、三棱錐的體積、余弦定理，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．