Question

15．在△ABC中，已知a=5，b=4，cos（A-B）=$\frac{31}{32}$，則cosC=$\frac{1}{8}$，AB=6．

Answer 1

分析 由已知得A＞B．在BC上取D，使得BD=AD，連接AD，設(shè)BD=x，則AD=x，DC=5-x．在△ADC中，cos∠DAC=cos（A-B）=$\frac{31}{32}$，由余弦定理求出x=4，從而cosC=$\frac{1}{2}$•$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{8}$，再由余弦定理能求出AB．

解答 解：∵在△ABC中，a=5，b=4，cos（A-B）=$\frac{31}{32}$，
∴a＞b，∴A＞B．在BC上取D，使得BD=AD，連接AD，
設(shè)BD=x，則AD=x，DC=5-x．
在△ADC中，cos∠DAC=cos（A-B）=$\frac{31}{32}$，
由余弦定理得：（5-x）²=x²+4²-2x•4•$\frac{31}{32}$，
即：25-10x=16-$\frac{31}{4}$x，
解得：x=4．
∴在△ADC中，AD=AC=4，CD=1，
∴cosC=$\frac{1}{2}$•$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{8}$，
∴AB=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{25+16-2×5×4×\frac{1}{8}}$=6．
故答案為：$\frac{1}{8}$，6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形角的余弦值及邊長(zhǎng)的求法，考查余弦定理、三角形性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．