Question

9．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過F₁傾斜角為45°的直線l與該橢圓相交于P，Q兩點，且|PQ|=$\frac{4}{3}$a．則該橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程為：y=x+c，其中c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則P，Q兩點坐標滿足方程組，聯(lián)立直線與橢圓的方程組，利用韋達定理弦長公式，推出關(guān)系式求解離心率即可．

解答 解：直線PQ斜率為1，設(shè)直線l的方程為：y=x+c，其中c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則P，Q兩點坐標滿足方程組
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$化簡得（a²+b²）x²+2a²cx+a²（c²-b²）=0，則x₁+x₂=$\frac{-2{a}^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$，
x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$
因為，所以|PQ|=$\sqrt{2}|{x}_{2}-{x}_{1}|$=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}•\frac{4}{3}a$．
得$\frac{4a}{3}=\frac{4a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，故a²=2b²，
所以橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力．