Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若方程f（x）=0在（0，2]上有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍；
（3）設(shè)a_k，b_k（k=1，2…，n）均為正數(shù)，且a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≤b₁+b₂+…+b_n，求證：a₁${\;}^{_{1}}$a₂${\;}^{_{2}}$…a_n${\;}^{_{n}}$≤1．

Answer 1

分析 （1）求出f'（x）=e^x-1，由f'（x）=0得x=0，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的最值；
（2）先求出f'（x）=e^x-a（0＜x≤2），再討論①當(dāng)a≤1時(shí)，②當(dāng)a≥e²時(shí)，③當(dāng)1＜a＜e²時(shí)的情況，從而求出a的范圍；
（3）由（1）知，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，e^x＞x+1，得b_klna_k＜a_kb_k-b_k（k=1，2，…，n），求和得$\sum_{k=1}^{n}$ln ${a}_{k}^{_{1}}$＜$\sum_{k=1}^{n}$a_kb_k-$\sum_{k=1}^{n}$b_k≤0．從而問(wèn)題得證．

解答 解：（1）f'（x）=e^x-1，由f'（x）=0得x=0
當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）內(nèi)遞增；
當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，0）內(nèi)遞減；
故函數(shù)f（x）在x=0處取得最小值f（1）=0．
（2）f'（x）=e^x-a（0＜x≤2）
①當(dāng)a≤1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，2]內(nèi)遞增；
f（x）＞f（0）=0，方程f（x）=0在（0，2]上無(wú)實(shí)數(shù)解；
②當(dāng)a≥e²時(shí)，f'（x）≤0，f（x）在（0，2]內(nèi)遞減；
f（x）＜f（0）=0，方程f（x）=0在（0，2]上無(wú)實(shí)數(shù)解；
③當(dāng)1＜a＜e²時(shí)，由f'（x）=0，得x=lna，
當(dāng)0＜x＜lna時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)lna＜x＜2時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增；
又f（0）=0，f（2）=e²-2a-1
由f（2）=e²-2a-1≥0得1＜a≤$\frac{{e}^{2}-1}{2}$，
故a的取值范圍為（1，$\frac{{e}^{2}-1}{2}$]
（3）由（1）知，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，e^x＞x+1，即ln（x+1）＜x．
∵a_k，b_k＞0，從而有l(wèi)na_k＜a_k-1，
得b_klna_k＜a_kb_k-b_k（k=1，2，…，n），
求和得 $\sum_{k=1}^{n}$ln${{a}_{k}}^{_{1}}$＜$\sum_{k=1}^{n}$a_kb_k-$\sum_{k=1}^{n}$b_k≤0，
ln（${{a}_{1}}^{{k}_{1}}$${{a}_{2}}^{{k}_{2}}$…${{a}_{n}}^{{k}_{n}}$）＜0，
故a₁${\;}^{_{1}}$a₂${\;}^{_{2}}$…a_n${\;}^{_{n}}$≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查不等式的證明，求參數(shù)的范圍，是一道綜合題．