Question

13．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，△PAD是邊長(zhǎng)為a的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，∠DAB=60°，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PCD．
（2）求二面角B-EC-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，DM，可證明四邊形DEFM是平行四邊形，于是EF∥DM，故而EF∥平面PCD；
（2）以E為原點(diǎn)，以EB，EA，EP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$，則|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|即為所求．

解答 證明：（1）取PC的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，DM，
∵F是PB的中點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，
∴FM∥BC，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$BC，
∵四邊形ABCD是菱形，E是AD的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE∥FM，DE=FM．
∴四邊形DEFM是平行四邊形，
∴EF∥DM，又EF?平面PCD，DM?平面PCD，
∴EF∥平面PCD．
（2）∵△PAD是邊長(zhǎng)為a的正三角形，E是AD的中點(diǎn)，
∴PE⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE?平面PAD，
∴PE⊥平面ABCD，
∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB=60°，E是AD的中點(diǎn)，
∴BE⊥AD．
以E為原點(diǎn)，以EB，EA，EP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
則E（0，0，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，0，0），P（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），C（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，-a，0），F(xiàn)（$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$a）．
∴$\overrightarrow{EC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，-a，0），$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$a）．
設(shè)平面ECF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{4}ax+\frac{\sqrt{3}}{4}az=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}ax-ay=0}\end{array}\right.$，
令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1），
又PE⊥平面ABCD，∴$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）為平面BCE的一個(gè)法向量．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\frac{\sqrt{11}}{2}×1}$=-$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．
由圖可知二面角B-EC-F為銳角，
∴二面角B-EC-F的余弦值為$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面平行的判定，空間向量的應(yīng)用與二面角的計(jì)算，屬于中檔題．