Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-a（1-

1

x

），a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）的最小值為0，回答下列問題：
（ⅰ）求實數(shù)a的值；
（ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數(shù)g（x）=xf（x）圖象上的兩點，且曲線g（x）在點T（t，g（t））處的切線與直線AB平行，求證：x₁＜t＜x₂．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）直接對f（x）求導，討論a≤0和a＞0時，f′（x）的正負即可確定函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）（ⅰ）結合（Ⅰ）和f（x）的最小值為0，得到[f（x）]_min=f（a）=1-a+lna=0．再由導數(shù)研究函數(shù)h（x）=1-x+lnx（x＞0）的最值，進而求得實數(shù)a的值；
（ⅱ）根據(jù)導數(shù)的幾何意義與兩點連線的斜率公式，得k_AB=g′（t），
令λ=

x2

x1

＞1，于是lnt-lnx₁=

lnλ-(1- 1 λ )

1- 1 λ

，得出當λ＞1時，lnλ＞1-

1

λ

，于是lnt-lnx₁＞0，即t＞x₁成立，
類似的方法可證出當λ＞1時，lnλ＜λ-1，即-lnλ+λ-1＞0，于是lnx₂-lnt＞0，即x₂＞t成立．由此即可得到x₁＜x₀＜x₂成立．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），且f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

．
當a≤0時，f′（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增；
當a＞0時，由f′（x）＞0，解得x＞a；由f′（x）＜0，解得0＜x＜a．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）．
綜上述：a≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
a＞0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間是（a，+∞）．
（Ⅱ）（�。┯桑á瘢┲�，當a≤0時，f（x）無最小值，不合題意；
當a＞0時，[f（x）]_min=f（a）=1-a+lna=0．
令h（x）=1-x+lnx（x＞0），則h′(x)=-1+

1

x

=

1-x

x

，
由h′（x）＞0，解得0＜x＜1；由h′（x）＜0，解得x＞1．
所以h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．
故[h（x）]_max=h（1）=0，即當且僅當x=1時，h（x）=0．
因此，a=1．                                  
（ⅱ）因為g（x）=xf（x）=xlnx-x+1（x＞0），所以g′（x）=lnx
直線AB的斜率kAB=

g(x2)-g(x1)

x2-x1

=

x2lnx2-x1lnx1

x2-x1

-1，g′（t）=lnt．
依題意，可得k_AB=g′（t），即

x2lnx2-x1lnx1

x2-x1

-1=lnt．
令λ=

x2

x1

＞1，
于是lnt-lnx1=

x2lnx2-x1lnx1

x2-x1

-1-lnx1=

x2lnx2-x2lnx1

x2-x1

-1
=

ln x2 x1

1- x1 x2

-1=

lnλ-(1- 1 λ )

1- 1 λ

．      
由（�。┲�，當λ＞1時，lnλ＞1-

1

λ

，于是lnt-lnx₁＞0，即t＞x₁成立． 
lnx2-lnt=lnx2-(

x2lnx2-x1lnx1

x2-x1

-1)=

x1lnx1-x1lnx2

x2-x1

+1=

ln x1 x2

x2 x1 -1

+1
=

ln 1 λ +λ-1

λ-1

=

-lnλ+λ-1

λ-1

．
由（�。┲�，當λ＞1時，lnλ＜λ-1，即-lnλ+λ-1＞0，于是lnx₂-lnt＞0，
即x₂＞t成立．
綜上，x₁＜t＜x₂成立．

點評：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、導數(shù)及其應用等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、數(shù)形結合思想等．