Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-3，0），（0，3），對(duì)稱軸直線x=-1交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D為頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上一點(diǎn)，且S_△PAC=2S_△DAC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，且∠MAC=∠ADE，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知中點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-3，0），（0，3），對(duì)稱軸為直線x=-1，構(gòu)造關(guān)于a，b，c的方程組，解方程組求出a，b，c的值，可得拋物線的解析式；
（2）由已知中AC坐標(biāo)，可求出線段AC的長，及D到AC的距離，進(jìn)而根據(jù)S_△PAC=2S_△DAC，求出P點(diǎn)到AC的距離，代入點(diǎn)到直線距離公式，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)C作CH⊥DE交DE于點(diǎn)H，設(shè)AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)G，AM交y軸于點(diǎn)N，由∠MAC=∠ADE，可得N點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出CN的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程可得M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A、點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-3，0），（0，3），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，
故

c=3 9a-3b+c=0 - b 2a =-1

，
解得：

a=-1 b=-2 c=3

，
∴y=-x²-2x+3；
（2）由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-3，0），（0，3）可得直線AC的方程為x-y+3=0，AC=3

2

，
由y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4可得：D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），
故D到直線AC的距離為：

|-1-4+3|

2

=

2

，
故S_△PAC=2S_△DAC=6，
則P到直線AC的距離為2

2

，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，-a²-2a+3），
則

|a+a2+2a-3+3|

2

=2

2

，
即a²+3a-4=0，解得a=-4，或a=1，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-5）或（1，0）；
（3）D（-1，4），C（0，3），E（-1，0），
過點(diǎn)C作CH⊥DE交DE于點(diǎn)H，
∴H（-1，3），CH=DH=1，∠DCH=∠HCA=∠CA0=45°，
∴CD=

2

，AC=3

2

，△ACD為直角三角形，且tan∠DAC=

1

3

．
設(shè)AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)G，AM交y軸于點(diǎn)N，
∵∠DAC+∠ADE=∠DGC=45°，∠CAM+∠MAO=∠CAO=45°，∠ADE=∠CAM，∠DAC=∠MAO，
∴tan∠MAO=

1

3

．
∵A（-3，0），
∴ON=1，即N（0，1）．
∴直線NA解析式為y=

1

3

x+1，
聯(lián)立方程

y= 1 3 x+1 y=-x2-2x+3

得：x=-3（舍），或x=

2

3

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

2

3

，

11

9

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，是二次函數(shù)與解析幾何知道的綜合應(yīng)用，難度較大．