Question

已知數(shù)列為其前n項(xiàng)和,計(jì)算得S₁=,S₂=,S₃=,S₄=,觀察上述結(jié)果推測(cè)出計(jì)算S_n的公式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

Answer 1

分析：本題以數(shù)列為載體,主要考查觀察、分析、歸納的能力和數(shù)學(xué)歸納法.應(yīng)先通過(guò)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行觀察和分析,猜想出S_n的公式,再對(duì)S_n的公式用數(shù)學(xué)歸納法論證.前一部分是基礎(chǔ),后一部分是發(fā)展.這種“先猜想,后論證”的題型正是近幾年高考的探索性題型,有利于培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造性思維,是熱點(diǎn)之一.用數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵是如何利用歸納假設(shè).在利用歸納假設(shè)進(jìn)行化簡(jiǎn)過(guò)程中,要時(shí)刻瞄準(zhǔn)n=k+1時(shí)等式右邊這一目標(biāo).

解：∵分母依次是3,5,7,9的平方數(shù),分子比分母小1,由此猜想.證明如下：

(1)當(dāng)n=1時(shí),,等式成立；

(2)設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立,

即.

則

即當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.

根據(jù)(1)、(2),可知等式對(duì)任何n∈N*都成立.

點(diǎn)評(píng)　數(shù)學(xué)歸納法通常用來(lái)證明與正整數(shù)有關(guān)的命題,它屬于完全歸納法,有兩個(gè)基本步驟：

第一步是起始步,證明當(dāng)n取第一個(gè)值n₀(n₀是使結(jié)論成立的最小的正整數(shù))時(shí),結(jié)論正確；

第二步是假設(shè)步,假設(shè)n=k(k∈N*,且k≥n₀)時(shí)結(jié)論正確,證明n=k+1時(shí),結(jié)論也正確.

其中第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù),兩者相輔相成,缺一不可.