Question

設(shè)f（x）=2^x，g（x）=4^x，且滿足g[g（x）]＞g[f（x）]＞f[g（x）]，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，求出g[g（x）]、g[f（x）]和f[g（x）]的表達(dá)式，
再利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式，從而求出x的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=2^x，g（x）=4^x，
∴g[g（x）]=g[4^x]=44x，
g[f（x）]=g[2^x]=42x，
f[g（x）]=f[4^x]=24x；
又∵g[g（x）]＞g[f（x）]＞f[g（x）]，
∴44x＞42x＞24x，
兩邊取對(duì)數(shù)，得
4^x•lg4＞2^x•lg4＞4^x•lg2，
∴2•2^2x＞2•2^x＞2^2x；
即2^2x+1＞2^x+1＞2^2x，
∴2x+1＞x+1＞2x，
解得0＜x＜1；
∴x的取值范圍是{x|0＜x＜1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．