精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】設頂點在原點，焦點在軸上的拋物線過點，過作拋物線的動弦， ，并設它們的斜率分別為， .

(Ⅰ)求拋物線的方程；

(Ⅱ)若，求證：直線的斜率為定值，并求出其值；

（III）若，求證：直線恒過定點，并求出其坐標.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見解析（III）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）先利用焦點在軸上設出拋物線的方程，再代點進行求解；（Ⅱ）在拋物線上設點,利用斜率公式求相關直線的斜率，利用斜率和為0求出等量關系，進而可以證明；（III）利用斜率之積為定值得到等量關系，再寫出直線的點斜式方程，進而得到結論.

試題解析：(Ⅰ)依題意，可設所求拋物線的方程為,

因拋物線過點，故，拋物線的方程為.

(Ⅱ)設，則，

同理

,∴， .

，即直線的斜率恒為定值，且值為.

（III），∴，∴.

直線的方程為 ，即.

將代入上式得即為直線的方程，

所以直線恒過定點，命題得證.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱柱，側面.

(Ⅰ)若分別是的中點，求證： ；

(Ⅱ)若三棱柱的各棱長均為2，側棱與底面所成的角為，問在線段上是否存在一點，使得平面?若存在，求與的比值，若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數為對數函數,并且它的圖象經過點,函數=在區(qū)間上的最小值為,其中.

(1)求函數的解析式;

(2)求函數的最小值的表達式;

(3)是否存在實數同時滿足以下條件:①;②當的定義域為時,值域為.若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數

（1）作出函數f(x)的大致圖象；

（2）寫出函數f(x)的單調區(qū)間；

（3）當時，由圖象寫出f(x)的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知動點到定點的距離和它到直線的距離的比值為常數，記動點的軌跡為曲線.

(1)求曲線的方程；

(2)若直線與曲線相交于不同的兩點， ，直線與曲線相交于不同的兩點 ，且，求以， ， ， 為頂點的凸四邊形的面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的值是（ ）

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點

（1）求證：EF⊥CD；
（2）在平面PAD內求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結論；
（3）求DB與平面DEF所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】函數f（x）的圖象如圖所示，曲線BCD為拋物線的一部分．

（Ⅰ）求f（x）解析式；

（Ⅱ）若f（x）=1，求x的值；

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線關于軸對稱，頂點在坐標原點，直線經過拋物線的焦點.

(1)求拋物線的標準方程；

(2)若不經過坐標原點的直線與拋物線相交于不同的兩點， ，且滿足，證明直線過軸上一定點，并求出點的坐標.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案