【題目】設頂點在原點,焦點在軸上的拋物線過點,過作拋物線的動弦, ,并設它們的斜率分別為, .

(Ⅰ)求拋物線的方程;

(),求證:直線的斜率為定值,并求出其值;

III)若,求證:直線恒過定點,并求出其坐標.

【答案】() ()見解析III見解析

【解析】試題分析:(Ⅰ先利用焦點在軸上設出拋物線的方程,再代點進行求解;(在拋物線上設點,利用斜率公式求相關直線的斜率,利用斜率和為0求出等量關系,進而可以證明;III)利用斜率之積為定值得到等量關系,再寫出直線的點斜式方程,進而得到結論.

試題解析:()依題意,可設所求拋物線的方程為,

因拋物線過點,故,拋物線的方程為.

(),則,

同理

,, .

,即直線的斜率恒為定值,且值為.

III,.

直線的方程為 ,即.

代入上式得即為直線的方程,

所以直線恒過定點,命題得證.

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