Question

18．函數(shù)y=$\frac{2+\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}$的值域?yàn)椋?∞，-1）∪[$\frac{2}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 將原函數(shù)變成y=$-1+\frac{5}{3-\sqrt{x}}$，這樣根據(jù)$0≤\sqrt{x}＜3，或\sqrt{x}＞3$即可得出$\frac{5}{3-\sqrt{x}}$的范圍，從而得出y的范圍，即得出原函數(shù)的值域．

解答 解：$y=\frac{2+\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}=\frac{-（3-\sqrt{x}）+5}{3-\sqrt{x}}=-1+\frac{5}{3-\sqrt{x}}$；
$0≤\sqrt{x}＜3，或\sqrt{x}＞3$；
∴$0＜3-\sqrt{x}≤3，或3-\sqrt{x}＜0$；
∴$\frac{1}{3-\sqrt{x}}≥\frac{1}{3}$，或$\frac{1}{3-\sqrt{x}}＜0$；
∴$y≥\frac{2}{3}$，或y＜-1；
∴原函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-1）∪[$\frac{2}{3}$，+∞）．
故答案為：$（-∞，-1）∪[\frac{2}{3}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 考查值域的概念，分離常數(shù)求函數(shù)值域的方法，不等式的性質(zhì)：同向的不等式取倒數(shù)時(shí)，不等號(hào)改變．