Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=3-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1（n∈N^*）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求證：{b_n}是等差數(shù)列；
（2）令c_n=（$\frac{2n-1}{n+1}$）a_n，求數(shù)列{c_n}的前8項(xiàng)和T₈．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的定義利用構(gòu)造復(fù)數(shù)即可證明{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求出c_n=（$\frac{2n-1}{n+1}$）a_n的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和即可．

解答 證明：（1）∵S_n=3-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1（n∈N^*）．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=3-a_n-1-（$\frac{1}{2}$）^n-2（n∈N^*）．
兩式作差得S_n-S_n-1=3-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1-[3-a_n-1-（$\frac{1}{2}$）^n-2]=（$\frac{1}{2}$）^n-1+a_n-1-a_n，
即2a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1+a_n-1，
等式兩邊同時(shí)乘以2^n-1，得2ⁿa_n=1+2^n-1a_n-1，
即b_n=1+b_n-1，
則b_n-b_n-1=1，故{b_n}是等差數(shù)列；
解：（2）當(dāng)n=1時(shí)，S₁=3-a₁-1．
即a₁=1．
∵{b_n}是等差數(shù)列，公差d=1，首項(xiàng)為2a₁=2，
∴b_n=2ⁿa_n=2+n-1=n+1，
則a_n=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
則c_n=（$\frac{2n-1}{n+1}$）a_n=（$\frac{2n-1}{n+1}$）$\frac{n+1}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
則數(shù)列{c_n}的前8項(xiàng)和T₈=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}+…+\frac{15}{{2}^{8}}$，
則$\frac{1}{2}$T₈=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{5}{{2}^{4}}$+$…+\frac{13}{{2}^{8}}$+$\frac{15}{{2}^{9}}$，
兩式作差得$\frac{1}{2}$T₈=$\frac{1}{2}$$+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{2}{{2}^{4}}+…+\frac{2}{{2}^{8}}$-$\frac{15}{{2}^{9}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}+…+$$\frac{1}{{2}^{7}}$-$\frac{15}{{2}^{9}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{7}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{15}{{2}^{9}}$
=$\frac{1}{2}$+1-（$\frac{1}{2}$）⁷-$\frac{15}{{2}^{9}}$=$\frac{3}{2}$-（$\frac{1}{2}$）⁷-$\frac{15}{{2}^{9}}$，
則T₈=3-$（\frac{1}{2}）^{6}-\frac{15}{{2}^{8}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列的證明以及數(shù)列的求和，利用錯(cuò)位相減法是解決數(shù)列求和的一種基本方法，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．