Question

8．如圖，過橢圓的左頂點A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓與P、Q連接PQ．
（1）問直線PQ是否過一定點，如果經過定點求出該點坐標，否則請說明理由；
（2）求△APQ面積取最大值時，直線PQ的方程．

Answer 1

分析 （1）設橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，直線AP的方程為：y=k（x+a），聯(lián)立方程可得P點坐標，進而求出Q點的坐標，可得直線PQ的兩點式方程，進而可得直線PQ與x軸交點為定點；
（2）△APQ面積S=$\frac{1}{2}$AC（|y_P|+|y_Q|），求出三角形面積的表達式，結合導數(shù)法，可得當k=±1，即PQ與x軸垂直時，S取最大值，進而得到答案．

解答 解：（1）設橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
則A的坐標為（-a，0），
設直線AP的方程為：y=k（x+a），代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$整理得：$（\frac{1}{{a}^{2}{k}^{2}}+\frac{1}{^{2}}）{y}^{2}-\frac{2}{ka}y=0$，
故P點的縱坐標為：$\frac{\frac{2}{ka}}{\frac{1}{{a}^{2}{k}^{2}}+\frac{1}{^{2}}}$=$\frac{2{akb}^{2}}{^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}$，
故P點的坐標為：（$\frac{{ab}^{2}-{a}^{3}{k}^{2}}{^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}$，$\frac{2{akb}^{2}}{^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}$），
由PA⊥QA得：QA的方程為：y=-$\frac{1}{k}$（x+a），
同理可得：Q點的坐標為：（$\frac{{ab}^{2}{k}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}$，$\frac{-2{akb}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}$），
則直線PQ的方程為：$\frac{y+\frac{2{akb}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}}{\frac{2{akb}^{2}}{^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}+\frac{2{akb}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}}$=$\frac{x-\frac{{ab}^{2}{k}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}}{\frac{{ab}^{2}-{a}^{3}{k}^{2}}{^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}-\frac{{ab}^{2}{k}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}}$，
當y=0時，x=$\frac{\frac{2{akb}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}}{\frac{2{akb}^{2}}{^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}+\frac{2{akb}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}}$×$（\frac{{ab}^{2}-{a}^{3}{k}^{2}}{^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}-\frac{{ab}^{2}{k}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}）+\frac{{ab}^{2}{k}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{a（{a}^{2}-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}$，
即直線PQ過一定點C（$\frac{a（{a}^{2}-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}$，0）；
（2）△APQ面積S=$\frac{1}{2}$AC（|y_P|+|y_Q|）=$\frac{1}{2}$×$\frac{a（{a}^{2}-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}$×|$\frac{2{akb}^{2}}{^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}$-$\frac{-2{akb}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}$|=$\frac{a（{a}^{2}-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}$×ab²（$\frac{k}{^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}$+$\frac{k}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}$），
令M=$\frac{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}{k}$+$\frac{{a}^{2}+^{2}{k}^{2}}{k}$則M取最小值時，S有最大值；
∵M′=$\frac{-^{2}}{{k}^{2}}+{a}^{2}+^{2}+\frac{-{a}^{2}}{{k}^{2}}$=$（{a}^{2}+^{2}）（1-\frac{1}{{k}^{2}}）$
故當k=±1，即PQ與x軸垂直時，S取最大值，
此時直線PQ的方程為：x=$\frac{a（{a}^{2}-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}$

點評 本題考查的知識點是橢圓的標準方程，直線的方程，直線與圓錐曲線的關系，直線過定點，三角形面積公式，函數(shù)的最大值，綜合性強，運算量大，屬于難題．