Question

9．已知平面向量$\overrightarrow α$，$\overrightarrow β$（${\overrightarrow α$≠$\overrightarrow β}$）滿足$\overrightarrow{|α|}$=2，且$\overrightarrow α$與$\overrightarrow β$-$\overrightarrow α$的夾角為120^°，t∈R，則|（1-t）$\overrightarrow α$+t$\overrightarrow β}$|的最小值是$\sqrt{3}$．已知$\overline{a}$•$\overrightarrow$=0，向量$\overrightarrow{c}$滿足（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=0，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=5，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|=3，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$的最大值為18．

Answer 1

分析 ①根據$\overrightarrow{α}$與$\overrightarrow{β}$的夾角為120°，結合向量加法的三角形法則，及連接直線上的點與直線外一點的線段中，垂線段最短得到當t|$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$|=$\frac{1}{2}$時，|（1-t）$\overrightarrow α$+t$\overrightarrow β}$|取最小值；
②由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0得出$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，建立直角坐標系，設$\overrightarrow{a}$=（m，0），$\overrightarrow$=（0，n），$\overrightarrow{c}$=（x，y），根據|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=5得m²+n²=25，記此圓為⊙M；
根據向量$\overrightarrow{c}$滿足（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=0，說明點C在⊙M上；
由|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$|=4，過點C分別作CD⊥y軸，
設∠CBD=θ，可得x=4sinθ=m-3cosθ，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=mx=10sin（2θ-φ）+8，從而求得結論．

解答 解：①∵平面向量$\overrightarrow{α}$滿足|$\overrightarrow{α}$|=2，且$\overrightarrow{α}$與$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$的夾角為120°，
故當t（$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$）滿足t|$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$|=$\frac{1}{2}$時，|（1-t）$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{β}$|（t∈R）取最小值，
此時由向量加法的三角形法則可得|（1-t）$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$|（t∈R）的最小值是$\sqrt{3}$；
②由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=0，建立如圖所示的直角坐標系；
可設$\overrightarrow{a}$=（m，0），$\overrightarrow$=（0，n），$\overrightarrow{c}$=（x，y），
∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=5，
∴m²+n²=25，記此圓為⊙M；
∵向量$\overrightarrow{c}$滿足（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=0，
∴x²+y²-mx-ny=0，
化為${（x-\frac{m}{2}）}^{2}$+${（y-\frac{n}{2}）}^{2}$=$\frac{25}{4}$，
說明點C在⊙M上；
∴|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|=3，
∴|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$|=4，
過點C分別作CD⊥y軸，CE⊥x軸，垂足分別為D，E；
設∠CBD=θ，則∠OAC=θ，
則x=4sinθ=m-3cosθ，
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=mx=4sinθ（4sinθ+3cosθ）
=16sin²θ+12sinθcosθ
=8（1-cos2θ）+6sin2θ
=10sin（2θ-φ）+8≤18；
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$的最大值為18．
故答案為：$\sqrt{3}$，18．

點評 本題考查了向量的模以及向量在幾何中的應用問題，也考查了向量的坐標運算、向量垂直與數量積的應用問題，是綜合性題目．