Question

【題目】已知拋物線E：上一點M到焦點F的距離為5．

(1)求拋物線E的方程；

(2)直線與圓C：相切且與拋物線E相交于A，B兩點，若△AOB的面積為4(O為坐標原點)，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）．

【解析】

（1）由拋物線的定義求出p的值，即可得出拋物線的方程；

（2）設(shè)直線l的方程為x＝my+n，設(shè)點A（x1，y1）、B（x2，y2），根據(jù)直線l與圓C相切得出m與n所滿足的第一個關(guān)系式，將直線l的方程聯(lián)立，列出韋達定理，計算出|AB|以及原點O到直線l的距離d，然后利用三角形的面積公式計算出△AOB的面積，得出m與n所滿足的第二個關(guān)系式，然后將兩個關(guān)系式聯(lián)立，求出m和n的值，即可得出直線l的方程．

（1）由拋物線的定義知，所以，p＝2，

因此，拋物線E的方程為y2＝4x；

（2）由題意知，直線l與y軸不垂直，設(shè)直線l的方程為x＝my+n．

∵直線l與圓C相切，又圓C的圓心為（2，0），所以，，∴4m2＝n2﹣4n，

設(shè)點A（x1，y1）、B（x2，y2），由，消去x得，y2﹣4my﹣4n＝0，

由韋達定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n．

則

，

又原點O到直線l的距離為，

∴，

∴，∴（m2+n）n2＝4，

又4m2＝n2﹣4n，解得n＝±2．

當(dāng)n＝2時，m2＝﹣1不成立；

當(dāng)n＝﹣2時，m2＝3，∴．

經(jīng)檢驗，所求直線方程為，即．