Question

如圖，長為6的線段PQ的端點分別在射線y=0（x≤0）和x=0（y≤0）上滑動，點M在線段PQ上，且

MQ

=2

PM

．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）若點M的軌跡與x軸、y軸分別交于點A，B，求四邊形OAMB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出定點P、Q的坐標(biāo)：P（x₁，0），Q（0，y₁），以及動點M的坐標(biāo)（x，y），根據(jù)向量關(guān)系式

MQ

=2

PM

，解出用x、y表示x₁，y₁的式子，最后根據(jù)線段PQ長為6建立關(guān)系式，再結(jié)合點P、Q分別在射線y=0（x≤0）和x=0（y≤0）上滑動，可得點M的軌跡方程；
（2）連接OM，將四邊形OAMB面積分成三角形OAM面積與三角形OBM面積的和．再進行三角換元：設(shè)點M坐標(biāo)為（4cosα，
2sinα），其中4cosα≤0，2sinα≤0，可得S_△OAM=-4sinα且S_△OBM=-4cosα，所以四邊形OAMB面積S=-4（sinα+cosα），最后利用平方的方法，可以求得sinα+cosα的最小值為-

2

，從而得到四邊形OAMB面積的最大值．

解答：解：（1）設(shè)P（x₁，0），Q（0，y₁），M（x，y），
其中x₁，y₁均為小于或等于0的數(shù)
∵

MQ

=2

PM

，

MQ

=(-x，y1-y)，

PM

=(x-x1，y)
∴-x=2（x-x₁），y₁-y=2y
∴

3x=2x1 3y=y1

⇒

x1= 3 2 x y1=3y

∵線段PQ長為6，
∴x₁²+y₁²=36，得

x2

16

+

y2

4

=1，
∵x₁，y₁均為小于或等于0的數(shù)
∴

x2

16

+

y2

4

=1(x，y≤0)即為點M的軌跡方程；
（2）連接OM，可得四邊形OAMB面積S=S_△OAM+S_△OBM
∵點M在橢圓弧

x2

16

+

y2

4

=1(x，y≤0)上，
∴可設(shè)M（4cosα，2sinα），其中4cosα≤0，2sinα≤0，
∴S_△OAM=

1

2

OA×|y_M|=-4sinα，S_△OBM=

1

2

OB×|x_M|=-4cosα
∴四邊形OAMB面積S=-4（sinα+cosα），
∵（sinα+cosα）²=1+sin2α≤2，
∴-

2

≤（sinα+cosα）≤

2

∴當(dāng)且僅當(dāng)sinα=cosα=-

2

2

時，sinα+cosα的最小值為-

2

此時，四邊形OAMB面積S取得最大值4

2

點評：本題用動點的軌跡與求多邊形面積為載體，著重考查了橢圓的標(biāo)準方程、三角函數(shù)的定義域和值域等知識點，屬于中檔題．