【題目】已知數(shù)列,若對任意,都有成立,則稱數(shù)列為“差增數(shù)列”.
(1)試判斷數(shù)列是否為“差增數(shù)列”,并說明理由;
(2)若數(shù)列為“差增數(shù)列”,且,,對于給定的正整數(shù)m,當(dāng),項數(shù)k的最大值為20時,求m的所有可能取值的集合;
(3)若數(shù)列為“差增數(shù)列”,,且,證明:.
【答案】(1)是;見解析(2);(3)見解析
【解析】
(1)數(shù)列是“差增數(shù)列”.由新定義可知,只要證明>an+1即可;
(2)由新定義可得對任意的n∈N*,an+2﹣an+1>an+1﹣an恒成立,可令bn=an+1﹣an(n≥1),運(yùn)用累加法,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得an,由于1≤n≤19,結(jié)合條件可得m的取值集合;
(3)運(yùn)用反證法證明,假設(shè)x1010x1011≥1,由題意可得x1x2…x2020=1,<,運(yùn)用不等式的性質(zhì)推得x1009x1012>1,即可得到矛盾,進(jìn)而得證.
解:(1)數(shù)列是“差增數(shù)列”.
因為任意的n∈N*,都有an+an+2=n2+(n+2)2=2n2+4n+4=2(n+1)2+2>2(n+1)2=2an+1,
即>an+1成立,
所以數(shù)列是“差增數(shù)列”;
(2)由已知,對任意的n∈N*,an+2﹣an+1>an+1﹣an恒成立.
可令bn=an+1﹣an(n≥1),則bn∈N,且bn<bn+1,
又an=m,要使項數(shù)k達(dá)到最大,且最大值為20時,必須bn(1≤n≤18)最小.
而b1=0,故b2=1,b3=2,…,bn=n﹣1.
所以an﹣a1=b1+b2+…+bn﹣1=0+1+2+…+(n﹣2)=(n﹣1)(n﹣2),
即當(dāng)1≤n≤19時,an=1+,a19=154,因為k的最大值為20,
所以18≤a20﹣a19<18+19,即18≤m﹣154<18+19,
所以m的所有可能取值的集合為{m|172≤m<191,m∈N*}.
(3)證明:(反證法)假設(shè)x1010x1011≥1.由已知可得xn(n=1,2,…,2020)均為正數(shù),且x1x2…x2020=1,<.
而由<可得<<,
即x1010x1011<x1009x1012,所以x1009x1012>1.
又=<=,即x1008x1013>1,
同理可證x1007x1014>1,…,x1x2020>1,
因此x1x2…x2020>1,這與已知矛盾,
所以x1010x1011<1.
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(1)求橢圓C的方程;
(2)A,B是橢圓C上的兩個不同點(diǎn),若直線,的斜率之積為(以O為坐標(biāo)原點(diǎn)),M是的中點(diǎn),連接并延長交橢圓C于點(diǎn)N,求的值.
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【題目】已知函數(shù)(,).
(1)當(dāng)時,若函數(shù)在上有兩個零點(diǎn),求的取值范圍;
(2)當(dāng)時,是否存在,使得不等式恒成立?若存在,求出的取值集合;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,已知拋物線:,過直線上一點(diǎn)作直線交拋物線于,兩點(diǎn),且點(diǎn)為中點(diǎn)、作直線交軸于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求面積的最大值.
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【題目】設(shè)無窮數(shù)列的前項和為,已知,.
(1)求的值;
(2)求數(shù)列的通項公式;
(3)是否存在數(shù)列的一個無窮子數(shù)列,使對一切均成立?若存在,請寫出數(shù)列的所有通項公式;若不存在,請說明理由.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為,(θ為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;
(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(﹣2,0),B(0,﹣2),M是曲線C上任意一點(diǎn),求△ABM面積的最小值.
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【題目】某地區(qū)城鄉(xiāng)居民儲蓄存款年底余額(單位:億元)如圖所示,下列判斷一定不正確的是( )
A.城鄉(xiāng)居民儲蓄存款年底余額逐年增長
B.農(nóng)村居民的存款年底余額所占比重逐年上升
C.到2019年農(nóng)村居民存款年底總余額已超過了城鎮(zhèn)居民存款年底總余額
D.城鎮(zhèn)居民存款年底余額所占的比重逐年下降
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(1)若是的中點(diǎn),證明面;
(2)是否存在點(diǎn),使二面角的大小為,若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
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